Desafortunadamente el hecho de imprimir un documento inmediatamente después de su descarga es algo complejo y muy específico que Chrome no puede hacer.
 
Lo que sí permite Chrome es autoimprimir documentos cuando se abre el diálogo de impresión (el cual directamente no aparece sino que se pasa directamente a imprimir con las opciones por defecto). Para activar este modo, debes ejecutar Chrome con la flag --kiosk-printing:
Haz clic derecho en el icono de Chrome en el escritorio, y pulsa Propiedades.
Al final de lo que hay en el campo Destino, escribe --kiosk-printing

"C:\Program Files (x86)\Google\Chrome\Application\chrome.exe" --kiosk-printing


Vuelve a iniciar Chrome desde el icono del escritorio. Ahora debería imprimir todo automáticamente sin mostrarte el diálogo de impresión.